Unterhalt an uneheliche Ex weil Kind unter 3 Jahre

[Absurdistan]

Job-Center der Ex (waren nicht verheiratet) meint ich müsste Unterhalt für die Mutter bezahlen weil sie in Elternzeit ist, man dann nicht von ihr verlangen kann zu arbeiten und weil das Kind sowieso erst 15 Monate alt ist. Falls ich durch meinen Teilzeitjob nicht zahlungsfähig bin, müsste ich dann Vollzeit arbeiten. Wenn das nicht geht werde ich mit Jobangeboten von denen zugebombt. Meine Wohnung wird mit großer Wahrscheinlichkeit zu teuer sein weil für Wohnraum mir dann nur 360 Euro zusteht.

Kann mir jemand sagen ob das korekt ist? Können die das so durchziehen?
Das wäre eine totale Kathstrophe!