Verfahren über Kindesunterhalt

[beppo]

Nein.
Das geht erst, wenn der "reguläre" Rechtsweg beendet ist.
Hinzu kommt, dass das BVerfG keine normale Beschwerdeinstanz ist, sondern nur angerufen werden kann, wenn es etwas grundsätzliches zu entscheiden gibt.

Grob gesagt:
Der BGH ist zuständig, wenn bestehende Gesetze nicht richtig angewandt wurden.
Das BVerfG ist zuständig, wenn die Gesetze selbst falsch sind.

Zumindest theoretisch.
Praktisch ist gerade der XII. BGH-Senat ganz groß darin, bestehende Gesetze zu ignorieren, zu dehnen und zu beugen.