Kann Antrag aufs Sorgerecht erfolg haben??

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Wenn sich der Rechtsstreit wirklich ein ganzes Jahr zum Beispiel hinziehen kann, heißt das dann auch automatisch dass das Kind ein ganzes Jahr im Heim bleiben muss??

Wie bereits geschrieben, hängt es davon ab, wie euer Anwalt was beantragt hat. Ein regelmäßiger Umgang per e.A. gestellt, sollte jedoch recht zügig durchgehen.

Oder besteht die Möglichkeit, evtl. mit Einverständnis der Mutter
das Kind aus dem Heim zu holen??

Das ist die Krux an der Sache!
Ihr wißt nicht, was Mutter (beim JA) unterschrieben hat. Es könnte ein "schleichender" Prozess (nicht im Sinne von Gericht!) stattfinden, in dem das JA in Zusammenarbeit mit dem Heim, das Kind immer länger bei sich behalten will. Da fließt Geld! Heime müssen besetzt sein, damit sie nicht zugemacht werden. Ihr könnt euch gar nicht vorstellen, was da noch auf euch zukommen kann!